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資料來源：《科學月刊》第二十九卷第七期
從蘇格拉底的教學法談起
知識與美德是內發的或外注的？天賦的或訓練的？遺傳的或環 境的？這些都是自古以來爭論不休的問題。如果將兩方用 0 與 1 來代表，那麼從 0 到 1 之間都有信徒。蘇格拉底大膽地假設「靈 魂是不朽的」，從而主張知識的「內發說」，亦即假設知識是每個 人所固有的，潛藏於靈魂之中，只是暫時遺忘或受蒙蔽。教育只不 過是撥掉雲霧，讓青天重現而已。
這很符合古希臘人的有機世界觀，他們相信萬物有靈，都有生 機與生命力，按一定的機理來成長與演化。例如，一粒種子蘊藏有 長成一棵樹的一切潛能，只要外在給予適當的土壤、風、雨和陽光 ，它就「自然地」把潛能充分地實現出來，長成一棵大樹，開花結 果，這是大自然神妙之處。
有機觀是「神話觀」的進步，反應著古希臘人對生物世界的洞 察與領悟。他們進一步把有機觀類推到物理世界。「物理」 （physics）這個字在希臘文的語源中，含有「自然」與「成長」 的意思。因此，物理學又叫做自然哲學（natural philosophy）。 一粒種子長成一棵樹是很合乎自然的，同理，一個物體的「自然」 就是它所要趨向的目的地，它為這個目的地而存在與發展。「趨向 自然」就是一個物體運動的原因。正如司馬遷所說的「天下熙熙皆 為利來，天下壤壤皆為利往。」一切物體都有它的自然處所，如果 它被移開了自然處所，就會產生回歸自然處所的運動。亞里斯多德 （Aristotle, 公元前 384~322）的物理學整個是採用有機觀來立 論的。 在這樣的哲學觀之下，自然而然教育就是啟發式的激發出潛能 ，「參贊化育」，而不是填鴨式的外灌背記知識。從而，蘇格拉底 的教學法順理成章地誕生，特別注重思想的辯證與分析過程，以及 提問題的藝術（The art of problems posing）。
我們看蘇格拉底的說法：人的靈魂是不朽的。它時而終結，叫 做死亡，時而再生，但永不毀滅。在這種觀點之下，一個人必須盡 其所能去過正直的生活。「因為每到第九年，春之女神就會遣返她 所收容的古代終結者的靈魂回到陽間轉世，其中有的變成國王，有 的變成大人物，也有變成大智慧者。這些人被後人尊稱為英雄。」
事實上，這是承襲畢氏學派（Pythagorean school）的靈魂轉 世說（transmigration of souls）而來的。蘇格拉底又說：既然 靈魂是不朽的，故它曾經出生過許多次，並且見識過此世與彼世的 一切事物，所以擁有一切事物的知識。因此，靈魂必能將它先前所 擁有的關於美德與任何事物的知識回憶起來，這就不足為奇了。因 為一切事物都有如血脈之相通，而靈魂已熟悉一切事物，故當一個 人能夠回憶起一片知識時（通常人們稱之為學習），只要他繼續發 奮並且不放鬆探尋，我們就沒有理由說他不能發現所有其他知識。 總之，探尋與學習都只是回憶而已。
這就是蘇格拉底著名的「知識回憶說」（the recollection theory of knowledge），乃是蘇格拉底教學法的理論基礎。
為了印證或檢驗他的「理論」蘇格拉底作了一個教學「實驗 」。這是一種實證的態度。(positivistic)
人物與主題`
參與討論對話的人物有三位：蘇格拉底、好朋友孟諾(Meno)以及孟諾家中蓄養的一位男童僕。以下我們分別用蘇、孟、童來簡稱。
討論的主題是，幾何學的倍平方問題。推廣的「倍立 方問題」，就是幾何學的三大難題之一。另外兩個是「方圓問題」與「三等 分角問題」，它們的特例「兩等分角」與「化多邊形為方形」，都 輕易就可以解決。
倍平方問題跟畢氏學派發現√2為無理數，因而導致「希臘人 對無窮的恐懼」(the Greek horror of the infinite)具有密切 關係。
值得注意的是，許多論者說，古希臘人不作實驗，只 會「空思 夢想，閉門造車」，其實不然。他們不但作實驗，而且是「試驗觀 念」的能手，更具有邏輯上的敏銳警覺(logical acumen)。希臘 文明是西方文明的根源，文藝復興運動(約 1400~1600 年)的一 個意含就是要恢復古希臘精神，即獨與天地精神相往來，為真理而 探索真理的精神。
孟諾的疑惑：知識是外注或內在回憶？
孟： 蘇格拉底，當你說，我們並不是學任何事物以及 學習只是一種回憶過程時，這是什麼意思呢？你能教我明白這件事嗎？
蘇： 我說過你是一個惡棍，存心跟我過不去。正當我 宣稱沒有教學這回事而只有回憶時，你卻要求我教你，顯然你是要陷我於矛盾的境地。
孟： 坦白地說，我並沒有這個惡意。我只是順著習慣提出問題而已。只要你能夠讓我明白你的論點是對的，不論你採用什麼方式都可以。
蘇： 這並不簡單，但是由於你問我，所以我會儘可能 來做這件事。我看到你家有許多童僕，就請你 任意挑選一位出來，我要用他示範給你看。
孟： 當然沒問題。(對一位男童僕說)你到這裡來。
蘇： 他是一個希臘人，而且講我們的希臘語，是嗎？
孟： 是的，他在我家中出生並且養育成長。
蘇： 現在請你注意觀察並且作判斷，他是從我處學習或只是回憶而已？
孟： 我會注意的。
問題的提出與初步的猜測
問題思考與討論的起點。當一個人被問題所困，問題越來越 大，逐漸占據整個身心，造成迷惑，甚至苦惱，然後從困頓中找到 一條出路，豁然開朗，有如蛹之變成蝶，破繭而出。這種「純喜」是求知的最佳報酬。原子論大師德莫克里特斯(Democritus, 約西 元前 410 年左右)說過，要用波斯帝國跟他交換這種快樂，他都 不願意。達文西(da Vinci, 1452~1519)也說：「無上妙趣，了 悟之樂。」
蘇： 對(男童僕)你知道正方形就是如下圖所示的圖形嗎？(蘇格拉底開始在腳邊的沙地上作圖，他對男童僕指出正方形 ABCD，見圖一。)
圖一
圖二
童： 是的，我知道。
蘇： 它的四邊都相等嗎？
童： 是的。
蘇： 通過邊的中點之連線也都相等嗎？(即圖中 EF 與GH 之線段。)
童： 是的。
蘇： 這樣的正方形可以作得大一點，也可以作得小一點，是不是？
童： 是的。
蘇： 今若這一邊之長為 2 尺，另一邊亦然，那麼整個正方形的面積是多少呢？讓我解釋一下：如果這一邊是 2 尺，另一邊是 1 尺，面積必然是 2 平方尺囉？
童： 是的。
蘇： 但是如果另一邊也是 2 尺，那麼面積不就是 2平方尺的兩倍了嗎？
童： 是的。
蘇： 2平方尺的兩倍是多少？請算出來並且告訴我。
童： 4 平方尺。
蘇： 現在你是否可以作出另一個正方形，使其面積是上述正方形的兩倍？(問題的提出)
童： 可以。
蘇： 面積是多少？
童： 8 平方尺。
蘇： 現在請你告訴我，待求的正方形之邊長是多少？我們已知原正方形的邊長是 2 尺，那麼兩倍面積的正方形之邊長是多少？
童： 蘇格拉底，顯然邊長也是原正方形邊長的兩倍。
蘇： 孟諾，你看，我並沒有教他任何東西，我只是提出問題而已。現在他認為他知道 8平方尺的正方形之邊長。
孟： 確實如此。
蘇： 但是他對嗎？
孟： 當然不對。
蘇： 他只是猜測的，欲面積兩倍，他以為邊長也是兩倍。
孟： 是的。
蘇： 請注意觀察，他如何以回憶的方式重建事物的秩序。(再對男童僕)你認為邊長加倍，面積就加倍嗎？記住，我不是指長方形，而是指邊長都相等的正方形，欲其面積是原正方形的兩倍，即 8 平方尺。請仔細想一下，你仍然以為邊長加倍就是答案嗎？
童： 是的，我仍然以為如此。
分析與檢驗
學生有主意(ideas)，即使是餿主意，也總比沒有主意還好。 教學要容忍學生的犯錯，鼓勵大膽地猜測，然後從錯誤中學習。最 怕的是學生沒有反應，也沒有求知胃口。有了猜測，接著就是作檢 驗。
蘇： 現在將 AB 邊加個等長的 BJ，這不就是邊長加倍了嗎？(參見圖二)
童： 是的。
蘇： 以此邊AJ作正方形，根據你的意思，就可以得到面積是8平方尺的正方形囉？
童： 是的。
蘇： 讓我們作四條等長的線段(即AJ, JK, KL與LA)，並且以第一線段為底邊作出正方形AJKL。這是否就是你所要的8平方尺的正方形？
童： 確實是這樣的。
蘇： 但是這個正方形含有4個小正方形，每個都跟原來的4平方尺之正方形相等，不是嗎？(蘇格拉底作出CM與CN，將大正方形分割成4塊，以支持他的論證。)
童： 是的。
蘇： 這個大正方形有多大呢？它不就是原正方形的4倍大嗎？
童： 當然。
蘇： 4倍跟2倍相同嗎？
童： 當然不相同。
蘇： 因此邊長加倍並非面積也加倍，而是變成4倍嗎？
童： 果然如此。(認識到自己的錯誤)
再作猜測第一次的猜測遭到否定之後，必須重新追尋，提出新的猜測， 直到問題解決為止。
蘇： 4乘以4是16，不是嗎？
童： 是的。
蘇： 那麼8平方尺的正方形邊長是多少呢？最大正方形的面積是原正方形的4倍，不是嗎？
童： 是的。
蘇： 最大正方形的邊長減半，就得到4平方尺的正方形，是嗎？
童： 是的。
蘇： 很好。那麼8平方尺的正方形恰好是原正方形的兩倍，並且是大正方形的一半，不是嗎？
童： 是的。
蘇： 是否有一個正方形，其邊長大於原正方形的長，並且小於大正方形的邊長？
童： 我認為應該有。
蘇： 好，請永遠回答你心中所想的。現在告訴我，原正方形的邊長是2尺，大正方形的邊長是4尺，不是嗎？
童： 是的。
蘇： 8平方尺的正方形，其邊長必大於2，但小於4，對嗎？(答案夾在兩個極端之間)
童： 必然是如此。
蘇： 可否請你說個準確的邊長？
童： 3尺。(第二次猜測)
蘇： 如果是這樣的話，那麼我們將AB加個BO(為BJ之半)，使得邊長變成3尺，另一邊亦如此泡製。於是得到邊長為2加1的正方形，這就是你所要的答案嗎？(蘇格拉底完成了正方形AOPQ，見圖三。)
圖三
圖四
童： 是的。
蘇： 邊長為 3 的正方形，整個面積就是 3 乘以 3 囉？
童： 似乎是如此。
蘇： 面積是多少？
童： 9 平方尺。
蘇： 原正方形面積的 2 倍是多少？
童： 8 平方尺。
蘇： 因此，即使是邊長為 3 尺的正方形，我們也沒有得到所欲求的 8 平方尺的正方形。
童： 沒有。(又知道第二次的猜測是不對的)
蘇： 8 平方尺的正方形的邊長是多少？請精確地告訴我。如果你不想算出數字，在圖形上指明出來也可以。
童： 蘇格拉底，這是沒有用的，我恰好不知道。
困惑是有益的
蘇： 孟諾，請你觀察，他在回憶的路途上所曾到達的境地。剛開始時，他並不知道8平方尺的正方形之邊長，事實上，他現在仍然不知道。但是剛才他以為知道，並且大膽地回答，毫無困惑地以為答對了。現在他困惑了，他不但不知道答案，而且也不認為他知道。(不過，他是處在更高層的困惑)
孟： 確實是如此。
蘇： 相對於他原先的無知，現在他不是處在一個較佳的情境了嗎？
孟： 我也認為如此。
蘇： 我困惑他，像蜜蜂刺螫他，使其痛麻，這種做法會對他造成傷害嗎？
孟： 我認為不會。
蘇： 事實上，在找尋正確答案這件事，我們已經幫忙他推進到某個程度了。因為他現在雖然還是無知，但他將很樂意去找尋。直到現在，他可以在許多情況下，在大庭廣眾之間，就正方形的倍積問題，提出倍積就是倍邊的答案，並且自認為可以說得既好且流暢。
孟： 毫無疑問。
蘇： 你猜想他會嘗試去找尋或學習他認為他知道(事實上是不知道)的事物嗎？或在置他於困惑之前，他會由於自覺到無知而產生求知的欲望嗎？
孟： 不會的。
蘇： 那麼置他於困惑的境地，對他是件好事嗎？
孟： 我同意。
失敗為成功之母
蘇： 孟諾，請你注意，從困惑的境地出發，透過追求真理，在我的陪伴下，他將會發現答案。雖然我只提出問題，並沒有教他。如果我給他指導或解釋，超過只訊問他自己的想法時，那麼你就馬上挑我的毛病吧。(蘇格拉底擦掉原先的圖形，重新開始。)(對男童僕)告訴我，我們的正方形ABCD是4平方尺，不是嗎？你懂嗎？ (見圖四)
童： 是的，我懂。
蘇：
我們可以再加一個同樣大小的正方形BCEF？
童： 是的。
蘇： 再加上第三個正方形CEGH，大小彼此都相等？
童： 是的。
蘇： 然後我們可以在角落上填補正方形DCHJ？(舖地板)
童： 是的。
蘇：
現在我們總共有四個相等的正方形，是嗎？
童： 是的。
蘇： 全部的面積是原正方形的幾倍？
童： 4倍。
蘇： 我們要作一個正方形是原正方形的兩倍，你還記得嗎？
童： 是的。
蘇： 今頂點到頂點的線段將每個小正方形分割成兩半，不是嗎？(見圖五)
註： 這一步有作弊之嫌，美中不足，蘇格拉底應該提出問題：如何將4倍變成2倍，即將大正方形分成兩半？然後由男童僕自己思考，提出答案。
兩次猜測都被否定掉，男童僕被進逼到自己承認「無知」的境 地，這正是「困而知之」的契機。
圖七
圖六
童：
是的。
蘇： 這四條線段都相等，並且圍出 BEHD 之領域，是嗎？
童： 確實如此。
蘇： 現在請你思考，這塊領域的面積有多大？
童： 我不明白。
蘇： 此地有四個小正方形，四條線段不是都將它們切成兩半嗎？
童： 是的。
蘇：
BEHD 含有多少個一半呢？
童： 四個。
蘇： 那麼 ABCD 含有多少個呢？
童： 兩個。
蘇： 4 與 2 的關係是什麼？
童： 4 是 2 的兩倍。
蘇： BEHD 的面積有多大？
童：
8 平方尺。
蘇： 它建立在哪個底邊上？
童： 這個邊。(即圖五的 BE 或 BD)
蘇： 在 4 平方尺的正方形，頂點到頂點的線段上，是嗎？
童： 是的。
蘇：
這個線段的專技名詞叫做「對角線」。如果我們採用這個名詞，那麼你個人的意見就是以原正方形的對角線為邊作一個正方形，這就是所欲求的倍積的正方形。
童： 正是如此，蘇格拉底。
男童僕在蘇格拉底所提的一連串問題之下，終於「回憶」起倍 平方問題的答案。事實上，這個答案只是畢氏定理的一個特例而已 。畢氏定理告訴我們，任何直角三角形斜邊的平方等於兩股平方之 和。因此，任何正方形的對角線之平方等於一邊平方的兩倍。更早 的時候，古埃及人利用正方形材料舖地板，就已經發現到這個結果 。
借助於倍平方問題的解決，柏拉圖企圖傳達，雖然無理數√2 或正方形的對角線跟其邊不可共度(incommensurable)之發現引 起希臘人對無窮的恐懼，但是√2本身並非不可理喻。柏拉圖說： 「不知道正方形對角線與其邊不可共度的人，愧生為人。」另外， 柏拉圖非常看重幾何學，在柏拉圖學院的門口掛著一塊招牌說：「 不懂幾何學的人，不得進入此門。」
整個教學過程可能蘊含的意義
對於上述教學過程的可能意含，蘇格拉底大膽地提出「靈魂不 朽並且擁有所有的知識」之主張。雖然他無法確定這個主張是對的 ，但是他認為由此引伸出來的結果是有益的：我們的「無知」可以 透過適當的問題之激發，讓「真知」復現或「回憶」起來。知識獨 立於吾人而存在，是一種「發現」(discovery)，而不是「發明」 (invention)。另一方面，讓學生體認到，發現真理是自己能力 所及的事，努力探尋必可得到，要相信自己的推理與判斷，不要盲 從「權威的說法」。
蘇： 孟諾，你認為怎麼樣？在他的回答中含有任何不是他自己的意見嗎？
孟： 不，都是他自己的。
蘇： 幾分鐘前，我們都同意他是無知的。
孟： 對的。
蘇： 但是現在他卻表現出這些意見，它們必定是藏在他自身的某處，不是嗎？
孟： 是的。
蘇： 因此一個無知的人，對一個論題確實隱藏有真知而不自覺。
孟： 看來是如此。
蘇： 現在這些意見，被問題激發出來，具有如夢幻般的特質。
如果在許多情況下，以不同的方式，對他提出相同的問題，你將可以看到，他終究會如同任何其他人一樣，對該論題具有精確的知識。
孟： 有可能是這樣的。
蘇： 這樣的知識並不是由教學得來的，而是透過問題激發出來的。他自己就可以追尋而復得知識。
孟： 是的。
蘇： 發自內在的力量，恢復本來隱藏在他自身中的知識，這叫做回憶，不是嗎？
孟： 是的。
蘇： 因此只有兩種可能情況：他在某個時刻得到他現在所擁有知識，或者他一直就擁有它。如果他一直擁有它，他必定一直都知道；另一方面，如果他是在先前某個時刻得到的，那麼它就不可能藏在他自身之中，除非有人教過他幾 何學。對於所有幾何知識或其他任何領域，他都會表現出同樣的行為模式。有人教過他所有這些知識嗎？你應該最清楚才對，因為他是在你的屋簷下養育成長的。
孟： 是的，我知道沒有人教過他。
蘇： 他擁有這些意見或沒有？
孟： 我們似乎不能否認他是擁有的。
蘇： 如果這些意見不是他在此生得到的，那麼必定是在其他時候擁有或學到的，這不是很明嗎？
孟： 似乎是如此。
蘇：
在他還不具人形時就擁有了嗎？
孟： 是的。
蘇： 不論在他是或不是一個人時，知識這很符合古希臘人的有機世界觀，他們相信萬物有靈，都有生機與生命力，按一定的機理來成長與演化。例如，一粒種子蘊藏有 長成一棵樹的一切潛能，只要外在給予適當的土壤、風、雨和陽光，它就「自然地」把潛能充分地實現出來，長成一棵大樹，開花結 果，這是大自然神妙之處。
上述的最後一段話，是蘇格拉底針對懷疑論者(sceptics)的 挑戰而發表的。
你是怎麼知道的？
在莊子《秋水》篇中，講到一個故事：有一天莊子與惠子在河 邊散步，河水清澈，兩人觀賞著魚兒出遊，心曠神怡，思想靈動。
莊子說： 魚兒在水中悠遊，這是魚兒快樂的證據啊。
惠子反問： 你不是魚，怎麼知道魚兒快樂呢？
莊子說： 你又不是我，怎麼知道我不知道魚兒快樂呢？
惠子回辯說： 誠然我不是你，所以不知道你的感覺；但是你也不是魚呀，那麼你不知道魚兒快樂，就很明白了。
莊子再辯道： 請回到原來的問題，剛剛你問我「你怎麼知道魚兒快樂」，這就表示你已經知道我知道魚兒快樂了。現在我可以告訴你答案，我是在這兒的河邊知道的啊！
我們可以從三個角度來觀察這個故事：
(Ⅰ)數學的觀點： 莊、惠兩人的爭辯可以沒完沒了 遞迴地進行 下去，但是誰也沒有證明或否證「魚兒樂」。數學告訴我們，證明 必須要有公理(axioms)與邏輯推演。
(Ⅱ)文學的觀點： 人有很大的一部分之意識活動屬於情感的範 疇。「魚兒樂」只是主 觀地抒發一個人內心的情感：我樂見魚也樂 ，「我見青山多嫵媚，青山見我應如是」，我悲見草木亦同悲。這 裡無所謂真假對錯，只有情感的真切與否而已。
(Ⅲ)哲學的觀點： 莊子是獨斷論者(dogmatists)，持直觀式 的與詩人的觀世態度，主觀地提出「魚兒樂」的猜測或假設(conjecture and hypothesis)。惠子是懷疑論者，持邏輯式的與說理式的觀世態度，講究檢驗與證明。
這個故事引出了知識論(epistemology)的幾個基本問題：我 們如何建立事物的意義與真理(meaning and truth)？我們知道 什麼(知其然)？我們是怎麼知道的(知其所以然)？
自古以來獨斷論者與懷疑論者對這些問題各從正、反兩個角度來爭辯與立論。
前者宣稱說： 我們一定能夠知道，我們將會知道。
後者宣稱說： 我們不知道，或至少我們無法確定我們知道。
懷疑論者利用「無窮回溯法」(method of infinite regress )的論證來支持其論點：你為何知道 A1？因為 A2；為何知道 A2 ？因為 A3；為何知道 A3，因為 A4；……；沒完沒了；所以你無 法知道 A1。
進一步論證說：當一個人知道時，他不必去探尋；而當他不知 道時，他也不知道要探尋什麼。
總之，懷疑論者認為：探尋是徒然的、不可能的，甚至根本沒 有探尋這回事。
破解懷疑論
對於以追求真理為職志的人，面對這種論證，當然不能接受。 蘇格拉底提出「靈魂不朽論」與「知識的回憶說」，並且用教學實 例展示一個成功的探尋過程，就是要表達他對懷疑論者的反駁。由 探尋未知，得到收穫與快樂，這含有人生的深刻價值。
事實上，面對懷疑論者的挑戰，最好的回應方式是努力去建立 讓人信服的知識殿堂。古希臘人成功地辦到了，那就是歐氏幾何的 建立，構成了「希臘奇蹟」(Greek miracle)之一。歐氏採用「 公設法」(axiomatic method)，即由直觀自明的公理出發，推導 出所有的幾何定理，因而擺脫「無窮回溯」的困局。
獨斷讓位給理性
蘇格拉底自比於牛虻(gadfly)，碰到人就不斷地提出問題來 困擾人。他自承無知(I know that I do not know)，深知真理 之難於求得，也不易把握，故時時提醒自己千萬不要當填鴨者與獨 斷者。他堅持探求知識時，必須經過討論、辯證與思考過程，這是 教育應該著力的核心。沒有這個過程的填鴨式知識，不但沒有用， 反而有害。
蘇格拉底雖然沒有把握他的論點是對的，但是他要努力捍衛思 想的自由，言論與表達的自由，這是無可置疑的。他說：對於人而 言，沒有經過考察的人生是不值得活的。(For man, the unexamined life is, indeed, not worth living.)
他逼迫獨斷讓位給理性(dogma gave way to reason)，使 許多胡說八道現原形，因而被指控「敗壞青年的心，最後以身 殉道，成為哲人的典範。他的《辯護》(apology)，千古以降讀 之，仍然是令人動容。
教學與學習是非常微妙而複雜的思想與心理活動過程，要讓一 個人內在的潛能與外在環境的觸媒互相交會衝激，以點燃思想火花 ，產生創造、發現與了悟的喜悅，這本來就是很神奇奧妙的事。大 自然的生生不息，時時在提供給我們例子與啟示。
事實上，教學是 一種藝術，沒有一定的規則可循。古今中外，有許多偉大的教師， 都各有不同的風格與迷人的魅力。毫無疑問的，蘇格拉底與柏拉圖 都是偉大的教師。後者還在雅典市郊創立了柏拉圖學院，以探究宇 宙奧秘與窮究萬物之理為宗旨。
自古以來，教學大約有三種類型：演講式、蘇格拉底式，以及 各式各樣的混合折衷式。每一種類型又可分成許多種情形，例如演 講式可以是填鴨的，也可以是富啟發性的。教師的學養、人格風範 、魅力、表達能力是主要的決定因素。蘇格拉底式的教學法，通常 只適用於班級人數很少的情況，並且學生要積極主動地參與。
至於教學技巧，更是千變萬化。其中，按照知識的生長機理與 歷史演化過程來教學(或學習)是一個好辦法，廣受喜愛。特別地 ，對於科學知識而言，這涉及了科學史與科學哲學(philosophy of science)。前者展示科學知識過程的歷史過程，後者研究科學 知識的邏輯結構、生長機理、發現的理路、方法論、科學革命如何 發生等等。這兩門學問關係密切，當代著名的科學哲學家拉卡托斯 (Lakatos, 1922~1974)曾套用康德(Kant,1724~1804)的話說 ：「科學哲學沒有科學史是空的；科學史沒有科學哲學是瞎的。」 兩者除了本身就有趣之外，對於教學、研究與學習都起了重大的影 響。 知識與美德是內發的或外注的？天賦的或訓練的？遺傳的或環 境的？這些都是自古以來爭論不休的問題。如果將兩方用 0 與 1 來代表，那麼從 0 到 1 之間都有信徒。蘇格拉底大膽地假設「靈 魂是不朽的」，從而主張知識的「內發說」，亦即假設知識是每個 人所固有的，潛藏於靈魂之中，只是暫時遺忘或受蒙蔽。教育只不 過是撥掉雲霧，讓青天重現而已。
什麼是科學？
基本上說來，科學包括有兩個層面：經驗面與理論面。先由經 驗(ε)出發，創造或猜測出普遍原理(Ａ)(axioms, laws, principles)，再由普遍原理推導出邏輯結論(Ｓ)，以解釋 (explain)既知的經驗並且預測(predict)新事物。
科學就是這 個活動所產生出來的知識系統。這是一條平實的通向真理之路。這 些可以用愛因斯坦(Einstein, 1879~1955)的一個圖解來表達( 圖六)。
其中完全明確(certainty)的是從Ａ到Ｓ的推理部分。至於 為何Ａ成立，Ｓ跟ε的關連，以及如何由ε飛躍創造出Ａ，都是不 明確的，有相當的爭議。愛因斯坦說得好：「只要數學定律指涉到 實際世界，它們就是不明確的；並且只要它們是明確的，就不指涉 實際世界。」
例如，牛頓力學。牛頓總結前人對運動現象的研究，創立三大 運動定律與萬有引力定律，由此推導出克卜勒(Kepler)行星三大 運動定律，解釋潮汐現象。後人又根據牛頓定律預測出海王星與冥 王星的位置。
我們再舉歐氏幾何的例子。古希臘人從古埃及與巴比倫接收了 許多經驗的幾何知識，加上他們自己所創的幾何遺產，開始追問：
怎樣知道這些幾何結果？
歷經三百年(公元前600年~公元前300年)的試誤與努力：從 泰利斯(Thales)發端，企圖將幾何結果排成邏輯鏈條(logical chain)，由排在前面的可以推導出排在後面的。接著是畢氏學派 ，嘗試要將幾何算術化與原子論化，由於無理數√2的出現而告失 敗。最後歐氏踏著畢氏的失敗，記取教訓，改採公理化的手法，由 五條公理出發，建立起幾何的演繹系統，把幾何知識提昇到可以談 「證明」的至高境界，堵住了懷疑論者的悠悠之口。
自古以來，歐氏幾何的演繹系統成為數學與科學理論的典範。 世間多的是不能證明的「胡說八道」，而數學的特色就是能夠證明 ，這是最令人欣喜的事。
靜力學與動力學
力學從靜力學(statics)發展到動力學(dynamics)，並且 使得前者變成是後者的特例。科學哲學以研究科學知識與科學理論 本身為目標，也可以分成兩部分：
(Ⅰ)靜力學：科學知識的結構
它的主題是對科學理論作邏輯結構的分析，提出意義的判準、 科學解釋的切當條件、科學客觀性的來源與基礎等等。這是在本世 紀上半葉由邏輯經驗論(logical empirism)所展開的哲學運動。 它完全不重視科學理論的發現與生長歷程。
基本上，這也是傳統數學的寫照。自從歐氏幾何(在公元前 300年)建立之後，幾乎所有的數學文章或書都採用「定義、公理 、定理、證明」的方式來書寫，即只展示由公理出發的邏輯演繹系 統，而隱藏發現理路以及為何要採用那些公理的分析、歸納過程。
阿貝爾(Abel, 1802~1929)批評高斯(Gauss, 1777~1855) 說：「他好像是一頭狡猾的狐狸，在沙地上一面走一面用尾巴抹掉 自己走過的蹤跡。」
(Ⅱ)動力學：科學知識的演化論
科學理論並非一成不變的永恒真理，它恆處在「日新又新」的 發展階段，有發現與生長的過程，也有死亡(科學革命)的時候， 更有方法論，這一切的生命力之機理是什麼呢？演化機制是什麼？
這些是自五○年代邏輯經驗論逐漸式微後，取而代之的當代科 學哲學所要研究的主要論題，其中的代表人物有波柏(K. Popper) 、拉卡托斯(I. Lakatos)、孔恩(T. Kuhn)以及費若本 (P. Feyerabend)等人，他們都從科學史中尋求證據與啟示。
數學教育
平行對應地，波利亞(Polya, 1888~1985)在數學中尋求數 學的生長與發現之理路，應用到數學教育，產生了啟發式 (heuristics)教學法，猜測式推理(plausible reasoning)之 發現法，以及解決問題的方法論(themethodology of problem solving )，包括提問題、觀察、試誤、歸納、類推、推廣、特殊 化、分析與綜合等古老方法。因此，他坐上數學教育的第一把交椅 。他強調教學要
從蘇格拉底的教學法談起
知識與美德是內發的或外注的？天賦的或訓練的？遺傳的或環 境的？這些都是自古以來爭論不休的問題。如果將兩方用 0 與 1 來代表，那麼從 0 到 1 之間都有信徒。蘇格拉底大膽地假設「靈 魂是不朽的」，從而主張知識的「內發說」，亦即假設知識是每個 人所固有的，潛藏於靈魂之中，只是暫時遺忘或受蒙蔽。教育只不 過是撥掉雲霧，讓青天重現而已。
這很符合古希臘人的有機世界觀，他們相信萬物有靈，都有生 機與生命力，按一定的機理來成長與演化。例如，一粒種子蘊藏有 長成一棵樹的一切潛能，只要外在給予適當的土壤、風、雨和陽光 ，它就「自然地」把潛能充分地實現出來，長成一棵大樹，開花結 果，這是大自然神妙之處。
有機觀是「神話觀」的進步，反應著古希臘人對生物世界的洞 察與領悟。他們進一步把有機觀類推到物理世界。「物理」 （physics）這個字在希臘文的語源中，含有「自然」與「成長」 的意思。因此，物理學又叫做自然哲學（natural philosophy）。 一粒種子長成一棵樹是很合乎自然的，同理，一個物體的「自然」 就是它所要趨向的目的地，它為這個目的地而存在與發展。「趨向 自然」就是一個物體運動的原因。正如司馬遷所說的「天下熙熙皆 為利來，天下壤壤皆為利往。」一切物體都有它的自然處所，如果 它被移開了自然處所，就會產生回歸自然處所的運動。亞里斯多德 （Aristotle, 公元前 384~322）的物理學整個是採用有機觀來立 論的。 在這樣的哲學觀之下，自然而然教育就是啟發式的激發出潛能 ，「參贊化育」，而不是填鴨式的外灌背記知識。從而，蘇格拉底 的教學法順理成章地誕生，特別注重思想的辯證與分析過程，以及 提問題的藝術（The art of problems posing）。
我們看蘇格拉底的說法：人的靈魂是不朽的。它時而終結，叫 做死亡，時而再生，但永不毀滅。在這種觀點之下，一個人必須盡 其所能去過正直的生活。「因為每到第九年，春之女神就會遣返她 所收容的古代終結者的靈魂回到陽間轉世，其中有的變成國王，有 的變成大人物，也有變成大智慧者。這些人被後人尊稱為英雄。」
事實上，這是承襲畢氏學派（Pythagorean school）的靈魂轉 世說（transmigration of souls）而來的。蘇格拉底又說：既然 靈魂是不朽的，故它曾經出生過許多次，並且見識過此世與彼世的 一切事物，所以擁有一切事物的知識。因此，靈魂必能將它先前所 擁有的關於美德與任何事物的知識回憶起來，這就不足為奇了。因 為一切事物都有如血脈之相通，而靈魂已熟悉一切事物，故當一個 人能夠回憶起一片知識時（通常人們稱之為學習），只要他繼續發 奮並且不放鬆探尋，我們就沒有理由說他不能發現所有其他知識。 總之，探尋與學習都只是回憶而已。
這就是蘇格拉底著名的「知識回憶說」（the recollection theory of knowledge），乃是蘇格拉底教學法的理論基礎。
為了印證或檢驗他的「理論」蘇格拉底作了一個教學「實驗 」。這是一種實證的態度。(positivistic)
人物與主題`
參與討論對話的人物有三位：蘇格拉底、好朋友孟諾(Meno)以及孟諾家中蓄養的一位男童僕。以下我們分別用蘇、孟、童來簡稱。
討論的主題是，幾何學的倍平方問題。推廣的「倍立 方問題」，就是幾何學的三大難題之一。另外兩個是「方圓問題」與「三等 分角問題」，它們的特例「兩等分角」與「化多邊形為方形」，都 輕易就可以解決。
倍平方問題跟畢氏學派發現√2為無理數，因而導致「希臘人 對無窮的恐懼」(the Greek horror of the infinite)具有密切 關係。
值得注意的是，許多論者說，古希臘人不作實驗，只 會「空思 夢想，閉門造車」，其實不然。他們不但作實驗，而且是「試驗觀 念」的能手，更具有邏輯上的敏銳警覺(logical acumen)。希臘 文明是西方文明的根源，文藝復興運動(約 1400~1600 年)的一 個意含就是要恢復古希臘精神，即獨與天地精神相往來，為真理而 探索真理的精神。
孟諾的疑惑：知識是外注或內在回憶？
孟： 蘇格拉底，當你說，我們並不是學任何事物以及 學習只是一種回憶過程時，這是什麼意思呢？你能教我明白這件事嗎？
蘇： 我說過你是一個惡棍，存心跟我過不去。正當我 宣稱沒有教學這回事而只有回憶時，你卻要求我教你，顯然你是要陷我於矛盾的境地。
孟： 坦白地說，我並沒有這個惡意。我只是順著習慣提出問題而已。只要你能夠讓我明白你的論點是對的，不論你採用什麼方式都可以。
蘇： 這並不簡單，但是由於你問我，所以我會儘可能 來做這件事。我看到你家有許多童僕，就請你 任意挑選一位出來，我要用他示範給你看。
孟： 當然沒問題。(對一位男童僕說)你到這裡來。
蘇： 他是一個希臘人，而且講我們的希臘語，是嗎？
孟： 是的，他在我家中出生並且養育成長。
蘇： 現在請你注意觀察並且作判斷，他是從我處學習或只是回憶而已？
孟： 我會注意的。
問題的提出與初步的猜測
問題思考與討論的起點。當一個人被問題所困，問題越來越 大，逐漸占據整個身心，造成迷惑，甚至苦惱，然後從困頓中找到 一條出路，豁然開朗，有如蛹之變成蝶，破繭而出。這種「純喜」是求知的最佳報酬。原子論大師德莫克里特斯(Democritus, 約西 元前 410 年左右)說過，要用波斯帝國跟他交換這種快樂，他都 不願意。達文西(da Vinci, 1452~1519)也說：「無上妙趣，了 悟之樂。」
蘇： 對(男童僕)你知道正方形就是如下圖所示的圖形嗎？(蘇格拉底開始在腳邊的沙地上作圖，他對男童僕指出正方形 ABCD，見圖一。)
圖一
圖二
童： 是的，我知道。
蘇： 它的四邊都相等嗎？
童： 是的。
蘇： 通過邊的中點之連線也都相等嗎？(即圖中 EF 與GH 之線段。)
童： 是的。
蘇： 這樣的正方形可以作得大一點，也可以作得小一點，是不是？
童： 是的。
蘇： 今若這一邊之長為 2 尺，另一邊亦然，那麼整個正方形的面積是多少呢？讓我解釋一下：如果這一邊是 2 尺，另一邊是 1 尺，面積必然是 2 平方尺囉？
童： 是的。
蘇： 但是如果另一邊也是 2 尺，那麼面積不就是 2平方尺的兩倍了嗎？
童： 是的。
蘇： 2平方尺的兩倍是多少？請算出來並且告訴我。
童： 4 平方尺。
蘇： 現在你是否可以作出另一個正方形，使其面積是上述正方形的兩倍？(問題的提出)
童： 可以。
蘇： 面積是多少？
童： 8 平方尺。
蘇： 現在請你告訴我，待求的正方形之邊長是多少？我們已知原正方形的邊長是 2 尺，那麼兩倍面積的正方形之邊長是多少？
童： 蘇格拉底，顯然邊長也是原正方形邊長的兩倍。
蘇： 孟諾，你看，我並沒有教他任何東西，我只是提出問題而已。現在他認為他知道 8平方尺的正方形之邊長。
孟： 確實如此。
蘇： 但是他對嗎？
孟： 當然不對。
蘇： 他只是猜測的，欲面積兩倍，他以為邊長也是兩倍。
孟： 是的。
蘇： 請注意觀察，他如何以回憶的方式重建事物的秩序。(再對男童僕)你認為邊長加倍，面積就加倍嗎？記住，我不是指長方形，而是指邊長都相等的正方形，欲其面積是原正方形的兩倍，即 8 平方尺。請仔細想一下，你仍然以為邊長加倍就是答案嗎？
童： 是的，我仍然以為如此。
分析與檢驗
學生有主意(ideas)，即使是餿主意，也總比沒有主意還好。 教學要容忍學生的犯錯，鼓勵大膽地猜測，然後從錯誤中學習。最 怕的是學生沒有反應，也沒有求知胃口。有了猜測，接著就是作檢 驗。
蘇： 現在將 AB 邊加個等長的 BJ，這不就是邊長加倍了嗎？(參見圖二)
童： 是的。
蘇： 以此邊AJ作正方形，根據你的意思，就可以得到面積是8平方尺的正方形囉？
童： 是的。
蘇： 讓我們作四條等長的線段(即AJ, JK, KL與LA)，並且以第一線段為底邊作出正方形AJKL。這是否就是你所要的8平方尺的正方形？
童： 確實是這樣的。
蘇： 但是這個正方形含有4個小正方形，每個都跟原來的4平方尺之正方形相等，不是嗎？(蘇格拉底作出CM與CN，將大正方形分割成4塊，以支持他的論證。)
童： 是的。
蘇： 這個大正方形有多大呢？它不就是原正方形的4倍大嗎？
童： 當然。
蘇： 4倍跟2倍相同嗎？
童： 當然不相同。
蘇： 因此邊長加倍並非面積也加倍，而是變成4倍嗎？
童： 果然如此。(認識到自己的錯誤)
再作猜測第一次的猜測遭到否定之後，必須重新追尋，提出新的猜測， 直到問題解決為止。
蘇： 4乘以4是16，不是嗎？
童： 是的。
蘇： 那麼8平方尺的正方形邊長是多少呢？最大正方形的面積是原正方形的4倍，不是嗎？
童： 是的。
蘇： 最大正方形的邊長減半，就得到4平方尺的正方形，是嗎？
童： 是的。
蘇： 很好。那麼8平方尺的正方形恰好是原正方形的兩倍，並且是大正方形的一半，不是嗎？
童： 是的。
蘇： 是否有一個正方形，其邊長大於原正方形的長，並且小於大正方形的邊長？
童： 我認為應該有。
蘇： 好，請永遠回答你心中所想的。現在告訴我，原正方形的邊長是2尺，大正方形的邊長是4尺，不是嗎？
童： 是的。
蘇： 8平方尺的正方形，其邊長必大於2，但小於4，對嗎？(答案夾在兩個極端之間)
童： 必然是如此。
蘇： 可否請你說個準確的邊長？
童： 3尺。(第二次猜測)
蘇： 如果是這樣的話，那麼我們將AB加個BO(為BJ之半)，使得邊長變成3尺，另一邊亦如此泡製。於是得到邊長為2加1的正方形，這就是你所要的答案嗎？(蘇格拉底完成了正方形AOPQ，見圖三。)
圖三
圖四
童： 是的。
蘇： 邊長為 3 的正方形，整個面積就是 3 乘以 3 囉？
童： 似乎是如此。
蘇： 面積是多少？
童： 9 平方尺。
蘇： 原正方形面積的 2 倍是多少？
童： 8 平方尺。
蘇： 因此，即使是邊長為 3 尺的正方形，我們也沒有得到所欲求的 8 平方尺的正方形。
童： 沒有。(又知道第二次的猜測是不對的)
蘇： 8 平方尺的正方形的邊長是多少？請精確地告訴我。如果你不想算出數字，在圖形上指明出來也可以。
童： 蘇格拉底，這是沒有用的，我恰好不知道。
困惑是有益的
蘇： 孟諾，請你觀察，他在回憶的路途上所曾到達的境地。剛開始時，他並不知道8平方尺的正方形之邊長，事實上，他現在仍然不知道。但是剛才他以為知道，並且大膽地回答，毫無困惑地以為答對了。現在他困惑了，他不但不知道答案，而且也不認為他知道。(不過，他是處在更高層的困惑)
孟： 確實是如此。
蘇： 相對於他原先的無知，現在他不是處在一個較佳的情境了嗎？
孟： 我也認為如此。
蘇： 我困惑他，像蜜蜂刺螫他，使其痛麻，這種做法會對他造成傷害嗎？
孟： 我認為不會。
蘇： 事實上，在找尋正確答案這件事，我們已經幫忙他推進到某個程度了。因為他現在雖然還是無知，但他將很樂意去找尋。直到現在，他可以在許多情況下，在大庭廣眾之間，就正方形的倍積問題，提出倍積就是倍邊的答案，並且自認為可以說得既好且流暢。
孟： 毫無疑問。
蘇： 你猜想他會嘗試去找尋或學習他認為他知道(事實上是不知道)的事物嗎？或在置他於困惑之前，他會由於自覺到無知而產生求知的欲望嗎？
孟： 不會的。
蘇： 那麼置他於困惑的境地，對他是件好事嗎？
孟： 我同意。
失敗為成功之母
蘇： 孟諾，請你注意，從困惑的境地出發，透過追求真理，在我的陪伴下，他將會發現答案。雖然我只提出問題，並沒有教他。如果我給他指導或解釋，超過只訊問他自己的想法時，那麼你就馬上挑我的毛病吧。(蘇格拉底擦掉原先的圖形，重新開始。)(對男童僕)告訴我，我們的正方形ABCD是4平方尺，不是嗎？你懂嗎？ (見圖四)
童： 是的，我懂。
蘇：
我們可以再加一個同樣大小的正方形BCEF？
童： 是的。
蘇： 再加上第三個正方形CEGH，大小彼此都相等？
童： 是的。
蘇： 然後我們可以在角落上填補正方形DCHJ？(舖地板)
童： 是的。
蘇：
現在我們總共有四個相等的正方形，是嗎？
童： 是的。
蘇： 全部的面積是原正方形的幾倍？
童： 4倍。
蘇： 我們要作一個正方形是原正方形的兩倍，你還記得嗎？
童： 是的。
蘇： 今頂點到頂點的線段將每個小正方形分割成兩半，不是嗎？(見圖五)
註： 這一步有作弊之嫌，美中不足，蘇格拉底應該提出問題：如何將4倍變成2倍，即將大正方形分成兩半？然後由男童僕自己思考，提出答案。
兩次猜測都被否定掉，男童僕被進逼到自己承認「無知」的境 地，這正是「困而知之」的契機。
圖七
圖六
童：
是的。
蘇： 這四條線段都相等，並且圍出 BEHD 之領域，是嗎？
童： 確實如此。
蘇： 現在請你思考，這塊領域的面積有多大？
童： 我不明白。
蘇： 此地有四個小正方形，四條線段不是都將它們切成兩半嗎？
童： 是的。
蘇：
BEHD 含有多少個一半呢？
童： 四個。
蘇： 那麼 ABCD 含有多少個呢？
童： 兩個。
蘇： 4 與 2 的關係是什麼？
童： 4 是 2 的兩倍。
蘇： BEHD 的面積有多大？
童：
8 平方尺。
蘇： 它建立在哪個底邊上？
童： 這個邊。(即圖五的 BE 或 BD)
蘇： 在 4 平方尺的正方形，頂點到頂點的線段上，是嗎？
童： 是的。
蘇：
這個線段的專技名詞叫做「對角線」。如果我們採用這個名詞，那麼你個人的意見就是以原正方形的對角線為邊作一個正方形，這就是所欲求的倍積的正方形。
童： 正是如此，蘇格拉底。
男童僕在蘇格拉底所提的一連串問題之下，終於「回憶」起倍 平方問題的答案。事實上，這個答案只是畢氏定理的一個特例而已 。畢氏定理告訴我們，任何直角三角形斜邊的平方等於兩股平方之 和。因此，任何正方形的對角線之平方等於一邊平方的兩倍。更早 的時候，古埃及人利用正方形材料舖地板，就已經發現到這個結果 。
借助於倍平方問題的解決，柏拉圖企圖傳達，雖然無理數√2 或正方形的對角線跟其邊不可共度(incommensurable)之發現引 起希臘人對無窮的恐懼，但是√2本身並非不可理喻。柏拉圖說： 「不知道正方形對角線與其邊不可共度的人，愧生為人。」另外， 柏拉圖非常看重幾何學，在柏拉圖學院的門口掛著一塊招牌說：「 不懂幾何學的人，不得進入此門。」
整個教學過程可能蘊含的意義
對於上述教學過程的可能意含，蘇格拉底大膽地提出「靈魂不 朽並且擁有所有的知識」之主張。雖然他無法確定這個主張是對的 ，但是他認為由此引伸出來的結果是有益的：我們的「無知」可以 透過適當的問題之激發，讓「真知」復現或「回憶」起來。知識獨 立於吾人而存在，是一種「發現」(discovery)，而不是「發明」 (invention)。另一方面，讓學生體認到，發現真理是自己能力 所及的事，努力探尋必可得到，要相信自己的推理與判斷，不要盲 從「權威的說法」。
蘇： 孟諾，你認為怎麼樣？在他的回答中含有任何不是他自己的意見嗎？
孟： 不，都是他自己的。
蘇： 幾分鐘前，我們都同意他是無知的。
孟： 對的。
蘇： 但是現在他卻表現出這些意見，它們必定是藏在他自身的某處，不是嗎？
孟： 是的。
蘇： 因此一個無知的人，對一個論題確實隱藏有真知而不自覺。
孟： 看來是如此。
蘇： 現在這些意見，被問題激發出來，具有如夢幻般的特質。
如果在許多情況下，以不同的方式，對他提出相同的問題，你將可以看到，他終究會如同任何其他人一樣，對該論題具有精確的知識。
孟： 有可能是這樣的。
蘇： 這樣的知識並不是由教學得來的，而是透過問題激發出來的。他自己就可以追尋而復得知識。
孟： 是的。
蘇： 發自內在的力量，恢復本來隱藏在他自身中的知識，這叫做回憶，不是嗎？
孟： 是的。
蘇： 因此只有兩種可能情況：他在某個時刻得到他現在所擁有知識，或者他一直就擁有它。如果他一直擁有它，他必定一直都知道；另一方面，如果他是在先前某個時刻得到的，那麼它就不可能藏在他自身之中，除非有人教過他幾 何學。對於所有幾何知識或其他任何領域，他都會表現出同樣的行為模式。有人教過他所有這些知識嗎？你應該最清楚才對，因為他是在你的屋簷下養育成長的。
孟： 是的，我知道沒有人教過他。
蘇： 他擁有這些意見或沒有？
孟： 我們似乎不能否認他是擁有的。
蘇： 如果這些意見不是他在此生得到的，那麼必定是在其他時候擁有或學到的，這不是很明嗎？
孟： 似乎是如此。
蘇：
在他還不具人形時就擁有了嗎？
孟： 是的。
蘇： 不論在他是或不是一個人時，知識這很符合古希臘人的有機世界觀，他們相信萬物有靈，都有生機與生命力，按一定的機理來成長與演化。例如，一粒種子蘊藏有 長成一棵樹的一切潛能，只要外在給予適當的土壤、風、雨和陽光，它就「自然地」把潛能充分地實現出來，長成一棵大樹，開花結 果，這是大自然神妙之處。
上述的最後一段話，是蘇格拉底針對懷疑論者(sceptics)的 挑戰而發表的。
你是怎麼知道的？
在莊子《秋水》篇中，講到一個故事：有一天莊子與惠子在河 邊散步，河水清澈，兩人觀賞著魚兒出遊，心曠神怡，思想靈動。
莊子說： 魚兒在水中悠遊，這是魚兒快樂的證據啊。
惠子反問： 你不是魚，怎麼知道魚兒快樂呢？
莊子說： 你又不是我，怎麼知道我不知道魚兒快樂呢？
惠子回辯說： 誠然我不是你，所以不知道你的感覺；但是你也不是魚呀，那麼你不知道魚兒快樂，就很明白了。
莊子再辯道： 請回到原來的問題，剛剛你問我「你怎麼知道魚兒快樂」，這就表示你已經知道我知道魚兒快樂了。現在我可以告訴你答案，我是在這兒的河邊知道的啊！
我們可以從三個角度來觀察這個故事：
(Ⅰ)數學的觀點： 莊、惠兩人的爭辯可以沒完沒了 遞迴地進行 下去，但是誰也沒有證明或否證「魚兒樂」。數學告訴我們，證明 必須要有公理(axioms)與邏輯推演。
(Ⅱ)文學的觀點： 人有很大的一部分之意識活動屬於情感的範 疇。「魚兒樂」只是主 觀地抒發一個人內心的情感：我樂見魚也樂 ，「我見青山多嫵媚，青山見我應如是」，我悲見草木亦同悲。這 裡無所謂真假對錯，只有情感的真切與否而已。
(Ⅲ)哲學的觀點： 莊子是獨斷論者(dogmatists)，持直觀式 的與詩人的觀世態度，主觀地提出「魚兒樂」的猜測或假設(conjecture and hypothesis)。惠子是懷疑論者，持邏輯式的與說理式的觀世態度，講究檢驗與證明。
這個故事引出了知識論(epistemology)的幾個基本問題：我 們如何建立事物的意義與真理(meaning and truth)？我們知道 什麼(知其然)？我們是怎麼知道的(知其所以然)？
自古以來獨斷論者與懷疑論者對這些問題各從正、反兩個角度來爭辯與立論。
前者宣稱說： 我們一定能夠知道，我們將會知道。
後者宣稱說： 我們不知道，或至少我們無法確定我們知道。
懷疑論者利用「無窮回溯法」(method of infinite regress )的論證來支持其論點：你為何知道 A1？因為 A2；為何知道 A2 ？因為 A3；為何知道 A3，因為 A4；……；沒完沒了；所以你無 法知道 A1。
進一步論證說：當一個人知道時，他不必去探尋；而當他不知 道時，他也不知道要探尋什麼。
總之，懷疑論者認為：探尋是徒然的、不可能的，甚至根本沒 有探尋這回事。
破解懷疑論
對於以追求真理為職志的人，面對這種論證，當然不能接受。 蘇格拉底提出「靈魂不朽論」與「知識的回憶說」，並且用教學實 例展示一個成功的探尋過程，就是要表達他對懷疑論者的反駁。由 探尋未知，得到收穫與快樂，這含有人生的深刻價值。
事實上，面對懷疑論者的挑戰，最好的回應方式是努力去建立 讓人信服的知識殿堂。古希臘人成功地辦到了，那就是歐氏幾何的 建立，構成了「希臘奇蹟」(Greek miracle)之一。歐氏採用「 公設法」(axiomatic method)，即由直觀自明的公理出發，推導 出所有的幾何定理，因而擺脫「無窮回溯」的困局。
獨斷讓位給理性
蘇格拉底自比於牛虻(gadfly)，碰到人就不斷地提出問題來 困擾人。他自承無知(I know that I do not know)，深知真理 之難於求得，也不易把握，故時時提醒自己千萬不要當填鴨者與獨 斷者。他堅持探求知識時，必須經過討論、辯證與思考過程，這是 教育應該著力的核心。沒有這個過程的填鴨式知識，不但沒有用， 反而有害。
蘇格拉底雖然沒有把握他的論點是對的，但是他要努力捍衛思 想的自由，言論與表達的自由，這是無可置疑的。他說：對於人而 言，沒有經過考察的人生是不值得活的。(For man, the unexamined life is, indeed, not worth living.)
他逼迫獨斷讓位給理性(dogma gave way to reason)，使 許多胡說八道現原形，因而被指控「敗壞青年的心，最後以身 殉道，成為哲人的典範。他的《辯護》(apology)，千古以降讀 之，仍然是令人動容。
教學與學習是非常微妙而複雜的思想與心理活動過程，要讓一 個人內在的潛能與外在環境的觸媒互相交會衝激，以點燃思想火花 ，產生創造、發現與了悟的喜悅，這本來就是很神奇奧妙的事。大 自然的生生不息，時時在提供給我們例子與啟示。
事實上，教學是 一種藝術，沒有一定的規則可循。古今中外，有許多偉大的教師， 都各有不同的風格與迷人的魅力。毫無疑問的，蘇格拉底與柏拉圖 都是偉大的教師。後者還在雅典市郊創立了柏拉圖學院，以探究宇 宙奧秘與窮究萬物之理為宗旨。
自古以來，教學大約有三種類型：演講式、蘇格拉底式，以及 各式各樣的混合折衷式。每一種類型又可分成許多種情形，例如演 講式可以是填鴨的，也可以是富啟發性的。教師的學養、人格風範 、魅力、表達能力是主要的決定因素。蘇格拉底式的教學法，通常 只適用於班級人數很少的情況，並且學生要積極主動地參與。
至於教學技巧，更是千變萬化。其中，按照知識的生長機理與 歷史演化過程來教學(或學習)是一個好辦法，廣受喜愛。特別地 ，對於科學知識而言，這涉及了科學史與科學哲學(philosophy of science)。前者展示科學知識過程的歷史過程，後者研究科學 知識的邏輯結構、生長機理、發現的理路、方法論、科學革命如何 發生等等。這兩門學問關係密切，當代著名的科學哲學家拉卡托斯 (Lakatos, 1922~1974)曾套用康德(Kant,1724~1804)的話說 ：「科學哲學沒有科學史是空的；科學史沒有科學哲學是瞎的。」 兩者除了本身就有趣之外，對於教學、研究與學習都起了重大的影 響。 知識與美德是內發的或外注的？天賦的或訓練的？遺傳的或環 境的？這些都是自古以來爭論不休的問題。如果將兩方用 0 與 1 來代表，那麼從 0 到 1 之間都有信徒。蘇格拉底大膽地假設「靈 魂是不朽的」，從而主張知識的「內發說」，亦即假設知識是每個 人所固有的，潛藏於靈魂之中，只是暫時遺忘或受蒙蔽。教育只不 過是撥掉雲霧，讓青天重現而已。
什麼是科學？
基本上說來，科學包括有兩個層面：經驗面與理論面。先由經 驗(ε)出發，創造或猜測出普遍原理(Ａ)(axioms, laws, principles)，再由普遍原理推導出邏輯結論(Ｓ)，以解釋 (explain)既知的經驗並且預測(predict)新事物。
科學就是這 個活動所產生出來的知識系統。這是一條平實的通向真理之路。這 些可以用愛因斯坦(Einstein, 1879~1955)的一個圖解來表達( 圖六)。
其中完全明確(certainty)的是從Ａ到Ｓ的推理部分。至於 為何Ａ成立，Ｓ跟ε的關連，以及如何由ε飛躍創造出Ａ，都是不 明確的，有相當的爭議。愛因斯坦說得好：「只要數學定律指涉到 實際世界，它們就是不明確的；並且只要它們是明確的，就不指涉 實際世界。」
例如，牛頓力學。牛頓總結前人對運動現象的研究，創立三大 運動定律與萬有引力定律，由此推導出克卜勒(Kepler)行星三大 運動定律，解釋潮汐現象。後人又根據牛頓定律預測出海王星與冥 王星的位置。
我們再舉歐氏幾何的例子。古希臘人從古埃及與巴比倫接收了 許多經驗的幾何知識，加上他們自己所創的幾何遺產，開始追問：
怎樣知道這些幾何結果？
歷經三百年(公元前600年~公元前300年)的試誤與努力：從 泰利斯(Thales)發端，企圖將幾何結果排成邏輯鏈條(logical chain)，由排在前面的可以推導出排在後面的。接著是畢氏學派 ，嘗試要將幾何算術化與原子論化，由於無理數√2的出現而告失 敗。最後歐氏踏著畢氏的失敗，記取教訓，改採公理化的手法，由 五條公理出發，建立起幾何的演繹系統，把幾何知識提昇到可以談 「證明」的至高境界，堵住了懷疑論者的悠悠之口。
自古以來，歐氏幾何的演繹系統成為數學與科學理論的典範。 世間多的是不能證明的「胡說八道」，而數學的特色就是能夠證明 ，這是最令人欣喜的事。
靜力學與動力學
力學從靜力學(statics)發展到動力學(dynamics)，並且 使得前者變成是後者的特例。科學哲學以研究科學知識與科學理論 本身為目標，也可以分成兩部分：
(Ⅰ)靜力學：科學知識的結構
它的主題是對科學理論作邏輯結構的分析，提出意義的判準、 科學解釋的切當條件、科學客觀性的來源與基礎等等。這是在本世 紀上半葉由邏輯經驗論(logical empirism)所展開的哲學運動。 它完全不重視科學理論的發現與生長歷程。
基本上，這也是傳統數學的寫照。自從歐氏幾何(在公元前 300年)建立之後，幾乎所有的數學文章或書都採用「定義、公理 、定理、證明」的方式來書寫，即只展示由公理出發的邏輯演繹系 統，而隱藏發現理路以及為何要採用那些公理的分析、歸納過程。
阿貝爾(Abel, 1802~1929)批評高斯(Gauss, 1777~1855) 說：「他好像是一頭狡猾的狐狸，在沙地上一面走一面用尾巴抹掉 自己走過的蹤跡。」
(Ⅱ)動力學：科學知識的演化論
科學理論並非一成不變的永恒真理，它恆處在「日新又新」的 發展階段，有發現與生長的過程，也有死亡(科學革命)的時候， 更有方法論，這一切的生命力之機理是什麼呢？演化機制是什麼？
這些是自五○年代邏輯經驗論逐漸式微後，取而代之的當代科 學哲學所要研究的主要論題，其中的代表人物有波柏(K. Popper) 、拉卡托斯(I. Lakatos)、孔恩(T. Kuhn)以及費若本 (P. Feyerabend)等人，他們都從科學史中尋求證據與啟示。
數學教育
平行對應地，波利亞(Polya, 1888~1985)在數學中尋求數 學的生長與發現之理路，應用到數學教育，產生了啟發式 (heuristics)教學法，猜測式推理(plausible reasoning)之 發現法，以及解決問題的方法論(themethodology of problem solving )，包括提問題、觀察、試誤、歸納、類推、推廣、特殊 化、分析與綜合等古老方法。因此，他坐上數學教育的第一把交椅 。他強調教學要
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