資料來源:《科學月刊》第二十九卷第七期
從蘇格拉底的教學法談起

  知識與美德是內發的或外注的?天賦的或訓練的?遺傳的或環 境的?這些都是自古以來爭論不休的問題。如果將兩方用 0 與 1 來代表,那麼從 0 到 1 之間都有信徒。蘇格拉底大膽地假設「靈 魂是不朽的」,從而主張知識的「內發說」,亦即假設知識是每個 人所固有的,潛藏於靈魂之中,只是暫時遺忘或受蒙蔽。教育只不 過是撥掉雲霧,讓青天重現而已。
這很符合古希臘人的有機世界觀,他們相信萬物有靈,都有生 機與生命力,按一定的機理來成長與演化。例如,一粒種子蘊藏有 長成一棵樹的一切潛能,只要外在給予適當的土壤、風、雨和陽光 ,它就「自然地」把潛能充分地實現出來,長成一棵大樹,開花結 果,這是大自然神妙之處。

  有機觀是「神話觀」的進步,反應著古希臘人對生物世界的洞 察與領悟。他們進一步把有機觀類推到物理世界。「物理」 (physics)這個字在希臘文的語源中,含有「自然」與「成長」 的意思。因此,物理學又叫做自然哲學(natural philosophy)。 一粒種子長成一棵樹是很合乎自然的,同理,一個物體的「自然」 就是它所要趨向的目的地,它為這個目的地而存在與發展。「趨向 自然」就是一個物體運動的原因。正如司馬遷所說的「天下熙熙皆 為利來,天下壤壤皆為利往。」一切物體都有它的自然處所,如果 它被移開了自然處所,就會產生回歸自然處所的運動。亞里斯多德 (Aristotle, 公元前 384~322)的物理學整個是採用有機觀來立 論的。   在這樣的哲學觀之下,自然而然教育就是啟發式的激發出潛能 ,「參贊化育」,而不是填鴨式的外灌背記知識。從而,蘇格拉底 的教學法順理成章地誕生,特別注重思想的辯證與分析過程,以及 提問題的藝術(The art of problems posing)。

  我們看蘇格拉底的說法:人的靈魂是不朽的。它時而終結,叫 做死亡,時而再生,但永不毀滅。在這種觀點之下,一個人必須盡 其所能去過正直的生活。「因為每到第九年,春之女神就會遣返她 所收容的古代終結者的靈魂回到陽間轉世,其中有的變成國王,有 的變成大人物,也有變成大智慧者。這些人被後人尊稱為英雄。」  

  事實上,這是承襲畢氏學派(Pythagorean school)的靈魂轉 世說(transmigration of souls)而來的。蘇格拉底又說:既然 靈魂是不朽的,故它曾經出生過許多次,並且見識過此世與彼世的 一切事物,所以擁有一切事物的知識。因此,靈魂必能將它先前所 擁有的關於美德與任何事物的知識回憶起來,這就不足為奇了。因 為一切事物都有如血脈之相通,而靈魂已熟悉一切事物,故當一個 人能夠回憶起一片知識時(通常人們稱之為學習),只要他繼續發 奮並且不放鬆探尋,我們就沒有理由說他不能發現所有其他知識。 總之,探尋與學習都只是回憶而已。

  這就是蘇格拉底著名的「知識回憶說」(the recollection theory of knowledge),乃是蘇格拉底教學法的理論基礎。

為了印證或檢驗他的「理論」蘇格拉底作了一個教學「實驗 」。這是一種實證的態度。(positivistic)

人物與主題`
參與討論對話的人物有三位:蘇格拉底、好朋友孟諾(Meno)以及孟諾家中蓄養的一位男童僕。以下我們分別用蘇、孟、童來簡稱。

  討論的主題是,幾何學的倍平方問題。推廣的「倍立 方問題」,就是幾何學的三大難題之一。另外兩個是「方圓問題」與「三等 分角問題」,它們的特例「兩等分角」與「化多邊形為方形」,都 輕易就可以解決。

  倍平方問題跟畢氏學派發現√2為無理數,因而導致「希臘人 對無窮的恐懼」(the Greek horror of the infinite)具有密切 關係。

  值得注意的是,許多論者說,古希臘人不作實驗,只 會「空思 夢想,閉門造車」,其實不然。他們不但作實驗,而且是「試驗觀 念」的能手,更具有邏輯上的敏銳警覺(logical acumen)。希臘 文明是西方文明的根源,文藝復興運動(約 1400~1600 年)的一 個意含就是要恢復古希臘精神,即獨與天地精神相往來,為真理而 探索真理的精神。

孟諾的疑惑:知識是外注或內在回憶?
孟: 蘇格拉底,當你說,我們並不是學任何事物以及 學習只是一種回憶過程時,這是什麼意思呢?你能教我明白這件事嗎?
蘇: 我說過你是一個惡棍,存心跟我過不去。正當我  宣稱沒有教學這回事而只有回憶時,你卻要求我教你,顯然你是要陷我於矛盾的境地。  
孟: 坦白地說,我並沒有這個惡意。我只是順著習慣提出問題而已。只要你能夠讓我明白你的論點是對的,不論你採用什麼方式都可以。
蘇: 這並不簡單,但是由於你問我,所以我會儘可能  來做這件事。我看到你家有許多童僕,就請你 任意挑選一位出來,我要用他示範給你看。  
孟: 當然沒問題。(對一位男童僕說)你到這裡來。
蘇: 他是一個希臘人,而且講我們的希臘語,是嗎?
孟: 是的,他在我家中出生並且養育成長。
蘇: 現在請你注意觀察並且作判斷,他是從我處學習或只是回憶而已?
孟: 我會注意的。

問題的提出與初步的猜測

  問題思考與討論的起點。當一個人被問題所困,問題越來越 大,逐漸占據整個身心,造成迷惑,甚至苦惱,然後從困頓中找到 一條出路,豁然開朗,有如蛹之變成蝶,破繭而出。這種「純喜」是求知的最佳報酬。原子論大師德莫克里特斯(Democritus, 約西 元前 410 年左右)說過,要用波斯帝國跟他交換這種快樂,他都 不願意。達文西(da Vinci, 1452~1519)也說:「無上妙趣,了 悟之樂。」
蘇: 對(男童僕)你知道正方形就是如下圖所示的圖形嗎?(蘇格拉底開始在腳邊的沙地上作圖,他對男童僕指出正方形 ABCD,見圖一。)


圖一


圖二
童: 是的,我知道。
蘇: 它的四邊都相等嗎?
童: 是的。
蘇: 通過邊的中點之連線也都相等嗎?(即圖中 EF 與GH 之線段。)
童: 是的。
蘇: 這樣的正方形可以作得大一點,也可以作得小一點,是不是?
童: 是的。
蘇: 今若這一邊之長為 2 尺,另一邊亦然,那麼整個正方形的面積是多少呢?讓我解釋一下:如果這一邊是 2 尺,另一邊是 1 尺,面積必然是 2 平方尺囉?
童: 是的。
蘇: 但是如果另一邊也是 2 尺,那麼面積不就是 2平方尺的兩倍了嗎?
童: 是的。
蘇: 2平方尺的兩倍是多少?請算出來並且告訴我。
童: 4 平方尺。
蘇: 現在你是否可以作出另一個正方形,使其面積是上述正方形的兩倍?(問題的提出)
童: 可以。
蘇: 面積是多少?
童: 8 平方尺。
蘇: 現在請你告訴我,待求的正方形之邊長是多少?我們已知原正方形的邊長是 2 尺,那麼兩倍面積的正方形之邊長是多少?
童: 蘇格拉底,顯然邊長也是原正方形邊長的兩倍。
蘇: 孟諾,你看,我並沒有教他任何東西,我只是提出問題而已。現在他認為他知道 8平方尺的正方形之邊長。
孟: 確實如此。
蘇: 但是他對嗎?
孟: 當然不對。
蘇: 他只是猜測的,欲面積兩倍,他以為邊長也是兩倍。
孟: 是的。
蘇: 請注意觀察,他如何以回憶的方式重建事物的秩序。(再對男童僕)你認為邊長加倍,面積就加倍嗎?記住,我不是指長方形,而是指邊長都相等的正方形,欲其面積是原正方形的兩倍,即 8 平方尺。請仔細想一下,你仍然以為邊長加倍就是答案嗎?
童: 是的,我仍然以為如此。

分析與檢驗

  學生有主意(ideas),即使是餿主意,也總比沒有主意還好。 教學要容忍學生的犯錯,鼓勵大膽地猜測,然後從錯誤中學習。最 怕的是學生沒有反應,也沒有求知胃口。有了猜測,接著就是作檢 驗。
蘇: 現在將 AB 邊加個等長的 BJ,這不就是邊長加倍了嗎?(參見圖二)
童: 是的。
蘇: 以此邊AJ作正方形,根據你的意思,就可以得到面積是8平方尺的正方形囉?
童: 是的。
蘇: 讓我們作四條等長的線段(即AJ, JK, KL與LA),並且以第一線段為底邊作出正方形AJKL。這是否就是你所要的8平方尺的正方形?
童: 確實是這樣的。
蘇: 但是這個正方形含有4個小正方形,每個都跟原來的4平方尺之正方形相等,不是嗎?(蘇格拉底作出CM與CN,將大正方形分割成4塊,以支持他的論證。)
童: 是的。
蘇: 這個大正方形有多大呢?它不就是原正方形的4倍大嗎?
童: 當然。
蘇: 4倍跟2倍相同嗎?
童: 當然不相同。
蘇: 因此邊長加倍並非面積也加倍,而是變成4倍嗎?
童: 果然如此。(認識到自己的錯誤)
  再作猜測第一次的猜測遭到否定之後,必須重新追尋,提出新的猜測, 直到問題解決為止。
蘇: 4乘以4是16,不是嗎?
童: 是的。
蘇: 那麼8平方尺的正方形邊長是多少呢?最大正方形的面積是原正方形的4倍,不是嗎?
童: 是的。
蘇: 最大正方形的邊長減半,就得到4平方尺的正方形,是嗎?
童: 是的。
蘇: 很好。那麼8平方尺的正方形恰好是原正方形的兩倍,並且是大正方形的一半,不是嗎?
童: 是的。
蘇: 是否有一個正方形,其邊長大於原正方形的長,並且小於大正方形的邊長?
童: 我認為應該有。
蘇: 好,請永遠回答你心中所想的。現在告訴我,原正方形的邊長是2尺,大正方形的邊長是4尺,不是嗎?
童: 是的。
蘇: 8平方尺的正方形,其邊長必大於2,但小於4,對嗎?(答案夾在兩個極端之間)
童: 必然是如此。
蘇: 可否請你說個準確的邊長?
童: 3尺。(第二次猜測)
蘇: 如果是這樣的話,那麼我們將AB加個BO(為BJ之半),使得邊長變成3尺,另一邊亦如此泡製。於是得到邊長為2加1的正方形,這就是你所要的答案嗎?(蘇格拉底完成了正方形AOPQ,見圖三。)


圖三


圖四
童: 是的。  
蘇: 邊長為 3 的正方形,整個面積就是 3 乘以 3 囉?
童: 似乎是如此。
蘇: 面積是多少?
童: 9 平方尺。
蘇: 原正方形面積的 2 倍是多少?
童: 8 平方尺。
蘇: 因此,即使是邊長為 3 尺的正方形,我們也沒有得到所欲求的 8 平方尺的正方形。
童: 沒有。(又知道第二次的猜測是不對的)
蘇: 8 平方尺的正方形的邊長是多少?請精確地告訴我。如果你不想算出數字,在圖形上指明出來也可以。
童: 蘇格拉底,這是沒有用的,我恰好不知道。

困惑是有益的
蘇: 孟諾,請你觀察,他在回憶的路途上所曾到達的境地。剛開始時,他並不知道8平方尺的正方形之邊長,事實上,他現在仍然不知道。但是剛才他以為知道,並且大膽地回答,毫無困惑地以為答對了。現在他困惑了,他不但不知道答案,而且也不認為他知道。(不過,他是處在更高層的困惑)
孟: 確實是如此。
蘇: 相對於他原先的無知,現在他不是處在一個較佳的情境了嗎?
孟: 我也認為如此。
蘇: 我困惑他,像蜜蜂刺螫他,使其痛麻,這種做法會對他造成傷害嗎?
孟: 我認為不會。
蘇: 事實上,在找尋正確答案這件事,我們已經幫忙他推進到某個程度了。因為他現在雖然還是無知,但他將很樂意去找尋。直到現在,他可以在許多情況下,在大庭廣眾之間,就正方形的倍積問題,提出倍積就是倍邊的答案,並且自認為可以說得既好且流暢。
孟: 毫無疑問。
蘇: 你猜想他會嘗試去找尋或學習他認為他知道(事實上是不知道)的事物嗎?或在置他於困惑之前,他會由於自覺到無知而產生求知的欲望嗎?
孟: 不會的。
蘇: 那麼置他於困惑的境地,對他是件好事嗎?
孟: 我同意。

失敗為成功之母
蘇: 孟諾,請你注意,從困惑的境地出發,透過追求真理,在我的陪伴下,他將會發現答案。雖然我只提出問題,並沒有教他。如果我給他指導或解釋,超過只訊問他自己的想法時,那麼你就馬上挑我的毛病吧。(蘇格拉底擦掉原先的圖形,重新開始。)(對男童僕)告訴我,我們的正方形ABCD是4平方尺,不是嗎?你懂嗎? (見圖四)
童: 是的,我懂。
蘇:

我們可以再加一個同樣大小的正方形BCEF? 
童: 是的。
蘇: 再加上第三個正方形CEGH,大小彼此都相等?
童: 是的。
蘇: 然後我們可以在角落上填補正方形DCHJ?(舖地板)
童: 是的。
蘇:

現在我們總共有四個相等的正方形,是嗎? 
童: 是的。
蘇: 全部的面積是原正方形的幾倍?
童: 4倍。
蘇: 我們要作一個正方形是原正方形的兩倍,你還記得嗎?
童: 是的。
蘇: 今頂點到頂點的線段將每個小正方形分割成兩半,不是嗎?(見圖五)  
註: 這一步有作弊之嫌,美中不足,蘇格拉底應該提出問題:如何將4倍變成2倍,即將大正方形分成兩半?然後由男童僕自己思考,提出答案。

  兩次猜測都被否定掉,男童僕被進逼到自己承認「無知」的境 地,這正是「困而知之」的契機。


圖七


圖六
童:

是的。 
蘇: 這四條線段都相等,並且圍出 BEHD 之領域,是嗎?
童: 確實如此。
蘇: 現在請你思考,這塊領域的面積有多大?
童: 我不明白。
蘇: 此地有四個小正方形,四條線段不是都將它們切成兩半嗎?
童: 是的。
蘇:

BEHD 含有多少個一半呢?
童: 四個。
蘇: 那麼 ABCD 含有多少個呢?
童: 兩個。
蘇: 4 與 2 的關係是什麼?
童: 4 是 2 的兩倍。
蘇: BEHD 的面積有多大?
童:

8 平方尺。
蘇: 它建立在哪個底邊上?
童: 這個邊。(即圖五的 BE 或 BD)
蘇: 在 4 平方尺的正方形,頂點到頂點的線段上,是嗎?
童: 是的。
蘇:

這個線段的專技名詞叫做「對角線」。如果我們採用這個名詞,那麼你個人的意見就是以原正方形的對角線為邊作一個正方形,這就是所欲求的倍積的正方形。
童: 正是如此,蘇格拉底。

  男童僕在蘇格拉底所提的一連串問題之下,終於「回憶」起倍 平方問題的答案。事實上,這個答案只是畢氏定理的一個特例而已 。畢氏定理告訴我們,任何直角三角形斜邊的平方等於兩股平方之 和。因此,任何正方形的對角線之平方等於一邊平方的兩倍。更早 的時候,古埃及人利用正方形材料舖地板,就已經發現到這個結果 。

  借助於倍平方問題的解決,柏拉圖企圖傳達,雖然無理數√2 或正方形的對角線跟其邊不可共度(incommensurable)之發現引 起希臘人對無窮的恐懼,但是√2本身並非不可理喻。柏拉圖說: 「不知道正方形對角線與其邊不可共度的人,愧生為人。」另外, 柏拉圖非常看重幾何學,在柏拉圖學院的門口掛著一塊招牌說:「 不懂幾何學的人,不得進入此門。」

整個教學過程可能蘊含的意義

  對於上述教學過程的可能意含,蘇格拉底大膽地提出「靈魂不 朽並且擁有所有的知識」之主張。雖然他無法確定這個主張是對的 ,但是他認為由此引伸出來的結果是有益的:我們的「無知」可以 透過適當的問題之激發,讓「真知」復現或「回憶」起來。知識獨 立於吾人而存在,是一種「發現」(discovery),而不是「發明」 (invention)。另一方面,讓學生體認到,發現真理是自己能力 所及的事,努力探尋必可得到,要相信自己的推理與判斷,不要盲 從「權威的說法」。
蘇: 孟諾,你認為怎麼樣?在他的回答中含有任何不是他自己的意見嗎?
孟: 不,都是他自己的。
蘇: 幾分鐘前,我們都同意他是無知的。
孟: 對的。
蘇: 但是現在他卻表現出這些意見,它們必定是藏在他自身的某處,不是嗎?
孟: 是的。
蘇: 因此一個無知的人,對一個論題確實隱藏有真知而不自覺。
孟: 看來是如此。
蘇: 現在這些意見,被問題激發出來,具有如夢幻般的特質。

  如果在許多情況下,以不同的方式,對他提出相同的問題,你將可以看到,他終究會如同任何其他人一樣,對該論題具有精確的知識。
孟: 有可能是這樣的。
蘇: 這樣的知識並不是由教學得來的,而是透過問題激發出來的。他自己就可以追尋而復得知識。
孟: 是的。
蘇: 發自內在的力量,恢復本來隱藏在他自身中的知識,這叫做回憶,不是嗎?
孟: 是的。
蘇: 因此只有兩種可能情況:他在某個時刻得到他現在所擁有知識,或者他一直就擁有它。如果他一直擁有它,他必定一直都知道;另一方面,如果他是在先前某個時刻得到的,那麼它就不可能藏在他自身之中,除非有人教過他幾 何學。對於所有幾何知識或其他任何領域,他都會表現出同樣的行為模式。有人教過他所有這些知識嗎?你應該最清楚才對,因為他是在你的屋簷下養育成長的。
孟: 是的,我知道沒有人教過他。
蘇: 他擁有這些意見或沒有?
孟: 我們似乎不能否認他是擁有的。
蘇: 如果這些意見不是他在此生得到的,那麼必定是在其他時候擁有或學到的,這不是很明嗎? 
孟: 似乎是如此。
蘇:

在他還不具人形時就擁有了嗎?   
孟: 是的。
蘇: 不論在他是或不是一個人時,知識這很符合古希臘人的有機世界觀,他們相信萬物有靈,都有生機與生命力,按一定的機理來成長與演化。例如,一粒種子蘊藏有 長成一棵樹的一切潛能,只要外在給予適當的土壤、風、雨和陽光,它就「自然地」把潛能充分地實現出來,長成一棵大樹,開花結 果,這是大自然神妙之處。

上述的最後一段話,是蘇格拉底針對懷疑論者(sceptics)的 挑戰而發表的。

你是怎麼知道的?

  在莊子《秋水》篇中,講到一個故事:有一天莊子與惠子在河 邊散步,河水清澈,兩人觀賞著魚兒出遊,心曠神怡,思想靈動。

 
莊子說: 魚兒在水中悠遊,這是魚兒快樂的證據啊。
惠子反問: 你不是魚,怎麼知道魚兒快樂呢?
莊子說: 你又不是我,怎麼知道我不知道魚兒快樂呢?  
惠子回辯說: 誠然我不是你,所以不知道你的感覺;但是你也不是魚呀,那麼你不知道魚兒快樂,就很明白了。
莊子再辯道: 請回到原來的問題,剛剛你問我「你怎麼知道魚兒快樂」,這就表示你已經知道我知道魚兒快樂了。現在我可以告訴你答案,我是在這兒的河邊知道的啊!

  我們可以從三個角度來觀察這個故事:
(Ⅰ)數學的觀點: 莊、惠兩人的爭辯可以沒完沒了 遞迴地進行 下去,但是誰也沒有證明或否證「魚兒樂」。數學告訴我們,證明 必須要有公理(axioms)與邏輯推演。
(Ⅱ)文學的觀點: 人有很大的一部分之意識活動屬於情感的範 疇。「魚兒樂」只是主 觀地抒發一個人內心的情感:我樂見魚也樂 ,「我見青山多嫵媚,青山見我應如是」,我悲見草木亦同悲。這 裡無所謂真假對錯,只有情感的真切與否而已。
(Ⅲ)哲學的觀點: 莊子是獨斷論者(dogmatists),持直觀式 的與詩人的觀世態度,主觀地提出「魚兒樂」的猜測或假設(conjecture and hypothesis)。惠子是懷疑論者,持邏輯式的與說理式的觀世態度,講究檢驗與證明。  

  這個故事引出了知識論(epistemology)的幾個基本問題:我 們如何建立事物的意義與真理(meaning and truth)?我們知道 什麼(知其然)?我們是怎麼知道的(知其所以然)?

  自古以來獨斷論者與懷疑論者對這些問題各從正、反兩個角度來爭辯與立論。
前者宣稱說: 我們一定能夠知道,我們將會知道。
後者宣稱說: 我們不知道,或至少我們無法確定我們知道。

  懷疑論者利用「無窮回溯法」(method of infinite regress )的論證來支持其論點:你為何知道 A1?因為 A2;為何知道 A2 ?因為 A3;為何知道 A3,因為 A4;……;沒完沒了;所以你無 法知道 A1。

  進一步論證說:當一個人知道時,他不必去探尋;而當他不知 道時,他也不知道要探尋什麼。

  總之,懷疑論者認為:探尋是徒然的、不可能的,甚至根本沒 有探尋這回事。

破解懷疑論

  對於以追求真理為職志的人,面對這種論證,當然不能接受。 蘇格拉底提出「靈魂不朽論」與「知識的回憶說」,並且用教學實 例展示一個成功的探尋過程,就是要表達他對懷疑論者的反駁。由 探尋未知,得到收穫與快樂,這含有人生的深刻價值。

  事實上,面對懷疑論者的挑戰,最好的回應方式是努力去建立 讓人信服的知識殿堂。古希臘人成功地辦到了,那就是歐氏幾何的 建立,構成了「希臘奇蹟」(Greek miracle)之一。歐氏採用「 公設法」(axiomatic method),即由直觀自明的公理出發,推導 出所有的幾何定理,因而擺脫「無窮回溯」的困局。

獨斷讓位給理性

  蘇格拉底自比於牛虻(gadfly),碰到人就不斷地提出問題來 困擾人。他自承無知(I know that I do not know),深知真理 之難於求得,也不易把握,故時時提醒自己千萬不要當填鴨者與獨 斷者。他堅持探求知識時,必須經過討論、辯證與思考過程,這是 教育應該著力的核心。沒有這個過程的填鴨式知識,不但沒有用, 反而有害。

  蘇格拉底雖然沒有把握他的論點是對的,但是他要努力捍衛思 想的自由,言論與表達的自由,這是無可置疑的。他說:對於人而 言,沒有經過考察的人生是不值得活的。(For man, the unexamined life is, indeed, not worth living.)

  他逼迫獨斷讓位給理性(dogma gave way to reason),使 許多胡說八道現原形,因而被指控「敗壞青年的心,最後以身 殉道,成為哲人的典範。他的《辯護》(apology),千古以降讀 之,仍然是令人動容。

教學與學習是非常微妙而複雜的思想與心理活動過程,要讓一 個人內在的潛能與外在環境的觸媒互相交會衝激,以點燃思想火花 ,產生創造、發現與了悟的喜悅,這本來就是很神奇奧妙的事。大 自然的生生不息,時時在提供給我們例子與啟示。

事實上,教學是 一種藝術,沒有一定的規則可循。古今中外,有許多偉大的教師, 都各有不同的風格與迷人的魅力。毫無疑問的,蘇格拉底與柏拉圖 都是偉大的教師。後者還在雅典市郊創立了柏拉圖學院,以探究宇 宙奧秘與窮究萬物之理為宗旨。

  自古以來,教學大約有三種類型:演講式、蘇格拉底式,以及 各式各樣的混合折衷式。每一種類型又可分成許多種情形,例如演 講式可以是填鴨的,也可以是富啟發性的。教師的學養、人格風範 、魅力、表達能力是主要的決定因素。蘇格拉底式的教學法,通常 只適用於班級人數很少的情況,並且學生要積極主動地參與。

  至於教學技巧,更是千變萬化。其中,按照知識的生長機理與 歷史演化過程來教學(或學習)是一個好辦法,廣受喜愛。特別地 ,對於科學知識而言,這涉及了科學史與科學哲學(philosophy of science)。前者展示科學知識過程的歷史過程,後者研究科學 知識的邏輯結構、生長機理、發現的理路、方法論、科學革命如何 發生等等。這兩門學問關係密切,當代著名的科學哲學家拉卡托斯 (Lakatos, 1922~1974)曾套用康德(Kant,1724~1804)的話說 :「科學哲學沒有科學史是空的;科學史沒有科學哲學是瞎的。」 兩者除了本身就有趣之外,對於教學、研究與學習都起了重大的影 響。 知識與美德是內發的或外注的?天賦的或訓練的?遺傳的或環 境的?這些都是自古以來爭論不休的問題。如果將兩方用 0 與 1 來代表,那麼從 0 到 1 之間都有信徒。蘇格拉底大膽地假設「靈 魂是不朽的」,從而主張知識的「內發說」,亦即假設知識是每個 人所固有的,潛藏於靈魂之中,只是暫時遺忘或受蒙蔽。教育只不 過是撥掉雲霧,讓青天重現而已。

什麼是科學?

  基本上說來,科學包括有兩個層面:經驗面與理論面。先由經 驗(ε)出發,創造或猜測出普遍原理(A)(axioms, laws, principles),再由普遍原理推導出邏輯結論(S),以解釋 (explain)既知的經驗並且預測(predict)新事物。

科學就是這 個活動所產生出來的知識系統。這是一條平實的通向真理之路。這 些可以用愛因斯坦(Einstein, 1879~1955)的一個圖解來表達( 圖六)。

  其中完全明確(certainty)的是從A到S的推理部分。至於 為何A成立,S跟ε的關連,以及如何由ε飛躍創造出A,都是不 明確的,有相當的爭議。愛因斯坦說得好:「只要數學定律指涉到 實際世界,它們就是不明確的;並且只要它們是明確的,就不指涉 實際世界。」

  例如,牛頓力學。牛頓總結前人對運動現象的研究,創立三大 運動定律與萬有引力定律,由此推導出克卜勒(Kepler)行星三大 運動定律,解釋潮汐現象。後人又根據牛頓定律預測出海王星與冥 王星的位置。

  我們再舉歐氏幾何的例子。古希臘人從古埃及與巴比倫接收了 許多經驗的幾何知識,加上他們自己所創的幾何遺產,開始追問:

怎樣知道這些幾何結果?

  歷經三百年(公元前600年~公元前300年)的試誤與努力:從 泰利斯(Thales)發端,企圖將幾何結果排成邏輯鏈條(logical chain),由排在前面的可以推導出排在後面的。接著是畢氏學派 ,嘗試要將幾何算術化與原子論化,由於無理數√2的出現而告失 敗。最後歐氏踏著畢氏的失敗,記取教訓,改採公理化的手法,由 五條公理出發,建立起幾何的演繹系統,把幾何知識提昇到可以談 「證明」的至高境界,堵住了懷疑論者的悠悠之口。

  自古以來,歐氏幾何的演繹系統成為數學與科學理論的典範。 世間多的是不能證明的「胡說八道」,而數學的特色就是能夠證明 ,這是最令人欣喜的事。

靜力學與動力學

  力學從靜力學(statics)發展到動力學(dynamics),並且 使得前者變成是後者的特例。科學哲學以研究科學知識與科學理論 本身為目標,也可以分成兩部分:

  (Ⅰ)靜力學:科學知識的結構

  它的主題是對科學理論作邏輯結構的分析,提出意義的判準、 科學解釋的切當條件、科學客觀性的來源與基礎等等。這是在本世 紀上半葉由邏輯經驗論(logical empirism)所展開的哲學運動。 它完全不重視科學理論的發現與生長歷程。

  基本上,這也是傳統數學的寫照。自從歐氏幾何(在公元前 300年)建立之後,幾乎所有的數學文章或書都採用「定義、公理 、定理、證明」的方式來書寫,即只展示由公理出發的邏輯演繹系 統,而隱藏發現理路以及為何要採用那些公理的分析、歸納過程。

  阿貝爾(Abel, 1802~1929)批評高斯(Gauss, 1777~1855) 說:「他好像是一頭狡猾的狐狸,在沙地上一面走一面用尾巴抹掉 自己走過的蹤跡。」

  (Ⅱ)動力學:科學知識的演化論

  科學理論並非一成不變的永恒真理,它恆處在「日新又新」的 發展階段,有發現與生長的過程,也有死亡(科學革命)的時候, 更有方法論,這一切的生命力之機理是什麼呢?演化機制是什麼?

  這些是自五○年代邏輯經驗論逐漸式微後,取而代之的當代科 學哲學所要研究的主要論題,其中的代表人物有波柏(K. Popper) 、拉卡托斯(I. Lakatos)、孔恩(T. Kuhn)以及費若本 (P. Feyerabend)等人,他們都從科學史中尋求證據與啟示。

數學教育

  平行對應地,波利亞(Polya, 1888~1985)在數學中尋求數 學的生長與發現之理路,應用到數學教育,產生了啟發式 (heuristics)教學法,猜測式推理(plausible reasoning)之 發現法,以及解決問題的方法論(themethodology of problem solving ),包括提問題、觀察、試誤、歸納、類推、推廣、特殊 化、分析與綜合等古老方法。因此,他坐上數學教育的第一把交椅 。他強調教學要
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